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题型：解答题题类：常考题难易度：普通

2015-2016学年河北省秦皇岛市卢龙县高二下学期期末数学试卷（理科）

已知抛物线E：x²=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2，其中O为原点．

（1）、求抛物线E的方程；

（2）、点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k₁ ， k₂ ，证明：k₁²+k₂²﹣2k²为定值．

举一反三

椭圆E： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的焦点到直线x﹣3y=0的距离为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D．

已知F₁ ， F₂为椭圆E的左右焦点，点P（1， $\text{[math]}$ ）为其上一点，且有|PF₁|+|PF₂|=4

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过F₁的直线l₁与椭圆E交于A，B两点，过F₂与l₁平行的直线l₂与椭圆E交于C，D两点，求四边形ABCD的面积S_ABCD的最大值．

已知直线y=﹣x+1与椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）相交于A、B两点．

①若椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦距为2，求线段AB的长；

②若向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]时，求椭圆的长轴长的最大值．

如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

如图，曲线 $\text{[math]}$ 由上半椭圆 $\text{[math]}$ 和部分抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 连接而成， $\text{[math]}$ 的公共点为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ （均异于点 $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦距与椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距相等，且 $\text{[math]}$ 经过抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点．

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