【培优版】新北师大版(2024)数学七上 3.3探索规律与表达同步练习

1. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 6 C . $\text{[math]}$ D . 3

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2. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 $\text{[math]}$ (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
…
则 $\text{[math]}$ 中，第三项系数为(　　)

A . 45 B . 50 C . 55 D . 60

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3. 对于任意有序排列的整式，我们都用右边的整式减去左边的整式，将所得之差的一半写在这两个整式之间，形成一组新的整式，这种操作称为“半路差队”，且把所得到的所有整式之和记为S．现对有序排列的2个整式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 进行“半路差队”操作，可以产生一个新整式串： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记为整式串1，其所有整式之和记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．继续对整式串1进行“半路差队”操作，可以得到整式串2，其所有整式之和记为 $\text{[math]}$ ；以此类推，可以得到整式串 $\text{[math]}$ ，其所有整式之和记为 $\text{[math]}$ ．下列说法：
①整式串4共有18个整式；
②第2022次操作后，所有整式之和为 $\text{[math]}$ ；
③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
其中正确的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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4. 如图，将一张正三角形纸片剪成四个全等的正三角形，得到4个小正三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正三角形再剪成四个小正三角形，共得到7个小正三角形，称为第二次操作；再将其中的一个正三角形再剪成四个小正三角形，共得到10个小正三角形，称为第三次操作；……，以上操作 $\text{[math]}$ 次后，共得到49个小正三角形，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限循环重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，毕达哥拉斯树的形成如图所示，若第n次操作后，图中正方形的个数为511 个，则n的值为（）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

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6. 如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……依此规律．第⑧个图案中的三角形个数是（）

A . 22 B . 25 C . 26 D . 28

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7. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第 $\text{[math]}$ 个图形中一共有 $\text{[math]}$ 个圆，第 $\text{[math]}$ 个图形中一共有 $\text{[math]}$ 个圆，第 $\text{[math]}$ 个图形中一共有 $\text{[math]}$ 个圆，第 $\text{[math]}$ 个图形中一共有 $\text{[math]}$ 个圆， $\text{[math]}$ ，按此归路排列下去，第 $\text{[math]}$ 个图形中圆的个数是（）个

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示)，每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体，第(2)个图案中有3个正方体，第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 观察下列等式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，根据其中的规律可得 $\text{[math]}$ 的结果的个位数字是（）

A . 0 B . 1 C . 7 D . 8

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10. 一个四位正整数M满足千位上的数字与个位上的数字之和为9，百位上的数字与十位上的数字之和为9，则称M为“九九数”．例如：四位正整数 $\text{[math]}$ ， ∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 是“九九数”．最小的“九九数”为；若“九九数”M能被11整除，那么满足条件的M的最大值与最小值之差为．

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11. 给出依次排列的一列数： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，按照此规律，第n个数为．

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12. 如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，我们把第一个数记为 $\text{[math]}$ ，第二个数记为 $\text{[math]}$ ，第三个数记为 $\text{[math]}$ ， …第 $\text{[math]}$ 个数记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 观察下列一组数： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第 $\text{[math]}$ 个数是，第 $\text{[math]}$ 个数是．

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14. 归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为．

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15. 如图，每一幅图都是由大小相同的小正方形（包含白色小正方形和灰色小正方形）按某种规律组成的，图1中有3个灰色小正方形，有9个白色小正方形；图2中有6个灰色小正方形，有14个白色小正方形；图3中有9个灰色小正方形，有19个白色小正方形；……

（1）请用含 $\text{[math]}$ 的代数式分别表示图 $\text{[math]}$ 中，白色小正方形有______个，灰色小正方形有______个；

（2）问第几个图中白色小正方形比灰色小正方形正好多254个．

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16. 著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”．这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ ；
④ $\text{[math]}$ ；
⑤ $\text{[math]}$
……………

（1）等式⑥是___________．

（2） $\text{[math]}$ ___________（n为正整数）．

（3）求 $\text{[math]}$ 的值．

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17. 下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有5个⊙，第2个图形中一共有8个⊙，第3个图形中一共有11个⊙，…，按此规律排列．

（1）第4个图形中一共有个⊙；

（2）第1001个图形中基本图形的个数有个⊙；

（3）第n个图形中基本图形的个数有个⊙．

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18. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格；
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
正四面体
4
①
6
长方体
8
6
②
正八面体
③
8
12
正十二面体
④
12
30

（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是；

（3）一个多面体的面数比顶点数小12，且有42条棱，则这个多面体的顶点数是．

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19. 观察下面的变形规律：
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
……
解答下面的问题：

（1）第5个式子为；

（2）若n为奇数正整数，请你猜想 $\text{[math]}$ ；

（3）根据你得到的启示，试解答下题：若有理数a ， b满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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20. 为保障校园体育活动安全有序的开展，学校计划利用假期在足球场四周安装安全防护栏，平面示意图如图2所示，假如每张防护栏长2.5米，每两张防护栏中间加装一个立柱进行加固，每根立柱宽为0.2米．

（1）根据上图及图中所含的规律，将表格补充完整．
立柱根数
1
2
3
4
5
…
护栏总长度（米）
0.2
2.9
8.3
…

（2）设立柱根数为 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示护栏总长度，并求出当把 $\text{[math]}$ 时，护栏的总长度．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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多面体	顶点数（V）	面数（F）	棱数（E）
正四面体	4	①	6
长方体	8	6	②
正八面体	③	8	12
正十二面体	④	12	30

立柱根数	1	2	3	4	5	…
护栏总长度（米）	0.2	2.9		8.3		…

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二、填空题

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