2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之圆(二)

1. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且 $\text{[math]}$ 被水面截得弦 $\text{[math]}$ 长为4米， $\text{[math]}$ 半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦 $\text{[math]}$ 所在直线的距离是（）

A . 1米 B . 2米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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2. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点D，C在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的度数是（　　）

A . 15° B . 20° C . 25° D . 30°

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3. 如图，已知 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离最大时，线段 $\text{[math]}$ 的长为( )

A . $\text{[math]}$
B . $\text{[math]}$
C . $\text{[math]}$
D . $\text{[math]}$

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4. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点O以 $\text{[math]}$ 的速度在 $\text{[math]}$ 边上沿 $\text{[math]}$ 的方向运动，以点O为圆心，半径为 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，运动过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 三边所在直线第一次相切和第三次相切的时间间隔是（）s

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，在 $\text{[math]}$ 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点 $\text{[math]}$ 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接正方形，直线 $\text{[math]}$ 且平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则阴影部分面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图， $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是弦， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．下列结论中正确的个数是（）
① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

③B，E两点间的距离是 $\text{[math]}$ ；

④ $\text{[math]}$ ．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接三角形，将劣弧 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠后刚好经过弦 $\text{[math]}$ 的中点D.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的半径长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）

A . CD+DF=4 B . CD−DF=2 $\text{[math]}$ −3 C . BC+AB=2 $\text{[math]}$ +4 D . BC−AB=2

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10. 如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时， $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，则阴影部分的面积为．

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12. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在圆上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 为3， $\text{[math]}$ 为2，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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13. 如图，点 $\text{[math]}$ 在一直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 同侧， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 外接圆的半径为．

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14. 如图， $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 内接于圆， $\text{[math]}$ 是直径， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

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15. 如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰三角形ACM，等腰三角形BCN， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AO的长是.

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16. 如图，点P是线段AB上一动点(不包括端点)，过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q，连结AQ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C，连结CB．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时， $\text{[math]}$ 为

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17. 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.

（1）【概念理解】当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数.

（2）【性质探究】如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
求证： $\text{[math]}$ .

（3）【拓展应用】如图2，AB是⊙O的直径，且AB=13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形.
①当BC=5时，求AD的长.
②当△BCD是和美三角形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

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18. $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是劣弧BC上一点， $\text{[math]}$ 分别交AD，BD于点G，F，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

（1）如图，连接AF，当AF经过圆心时.
①求证：AF平分 $\text{[math]}$ ；
②求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）考生注意：本题有三小题，第①题2分，第②题3分，第③题4分，如图，请根据自己的认知水平，选做其中一题.
①连接CD，求证： $\text{[math]}$ ；
②连接AE，求证： $\text{[math]}$ ；
③连接BE，若 $\text{[math]}$ ，求BE的长.

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19. 定义：当点P在射线OA上时，把 $\text{[math]}$ 的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．
例如：如图1，△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为 $\text{[math]}$ ．

（1）在△OAB中，
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．
其中真命题有 ▲ ．
$\text{[math]}$ ． ①② $\text{[math]}$ ． ①③ $\text{[math]}$ ． ②③ $\text{[math]}$ ． ①②③

（2）已知：点C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以〇为圆心，OA为半径画圆，点B是⊙O上任意点．
①如图2，若点B在射线OA上的射影值为 $\text{[math]}$ ．求证：直线BC是⊙O的切线；
②如图3，已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x ，点D在射线OB上的射影值为y ，直接写出y与x之间的函数关系式为．

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20. 有关阿基米德折弦定理的探讨与应用

（1） [问题呈现]
阿基术德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线AB-BC是圆的一条折弦），BC> AB，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，则从点M向BC作垂线，垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA．
下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.
证明：如图②，在CD上截取CE=AB，连接MA、MB、MC和ME.
∵M是 $\text{[math]}$ 的中点，∴MA=MC.
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.

（2） [理解运用]
如图③，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作EF⊥AC于点F.若AC=10，BC=4，则CF的长为

（3） [实践应用]
如图④，等边△ABC内接于⊙O，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，且∠ABD= 45°，连接CD.若AB=2，则△BDC的周长为

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21. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条直径， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

（2）求证： $\text{[math]}$ ．

（3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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22. 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G， $\text{[math]}$ ，点F在线段BD上，且AF=AD.

（1）若∠ADB= $\text{[math]}$ ，请用 $\text{[math]}$ 的代数式表示∠ADC；

（2）求证：BF=CD；

（3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC.
①若AM为⊙O的直径，AM=13，tan∠DAC= $\text{[math]}$ ，求AF的长；
②若FG=2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论.

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2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之圆(二)

一、选择题

二、填空题

三、实践探究题

四、综合题

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