2024年中考数学热点探究十八几何最值问题

1. 如图，若正六边形 $\text{[math]}$ 绕着中心 $\text{[math]}$ 旋转角 $\text{[math]}$ 得到的图形与原来的图形重合，则 $\text{[math]}$ 最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB ， E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝ $\text{[math]}$ BD ，连接AE ， CF ，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）

A . 等于定值5- $\text{[math]}$ B . 有最大值 $\text{[math]}$ C . 有最小值 $\text{[math]}$ D . 有最小值 $\text{[math]}$

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3. 如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正ΔBCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的（）

A . 随点C的运动而变化，最小值为 $\text{[math]}$ B . 随点C的运动而变化，最大值为8 C . 随点C的运动而变化，最大值为 $\text{[math]}$ D . 随点C的运动而变化，但无最值

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4. 如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄ ，以下判断，其中不正确的是（）

A . PA+PB+PC+PD的最小值为10 B . 若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC C . 若△PAB∼△PDA，则PA=2 D . 若S₁=S₂ ，则S₃=S₄

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5. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，有 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，则点P到边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之和 $\text{[math]}$ 的值（）

A . 有最大值a B . 有最小值 $\text{[math]}$ C . 是定值 $\text{[math]}$ D . 是定值 $\text{[math]}$

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6. 如图，AB为⊙O的直径，AB=10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝ $\text{[math]}$ ，则当下列哪种情况时，AC•CE取得最大值. （）

A . CD取最大值时 B . AC⊥AD时 C . CD⊥DE时 D . OC⊥AB时

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7. 如图， $\text{[math]}$ ，点A、B分别在射线 $\text{[math]}$ 、射线 $\text{[math]}$ 上运动，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 无最大值

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8. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A ， B重合的点，CD平分∠ACB ，交⊙O于D ， AE平分∠CAB ，交CD于E ．有以下说法：
①点D是定点；
②AC•BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为 $\text{[math]}$ ．
其中正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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9. 如图， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是位于直线 $\text{[math]}$ 同侧的两个等边三角形，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点．若 $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 周长的最小值为6 D . 四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$

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10. 如图，已知点C在以 $\text{[math]}$ 为直径，O为圆心的半圆上， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的三等分点， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的动点，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$ 的值是．

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12. 如图，在边长为2的正方形 $\text{[math]}$ 中，E，F分别是 $\text{[math]}$ 上的动点，M，N分别是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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13. $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 外作正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点O ，则线段 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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14. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点F是 $\text{[math]}$ 的中点，点E是 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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15. 如图，在直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边向下作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. 如图，平面内三点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为对角线作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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17. 如图所示，在△ABC中， $\text{[math]}$ 是斜边AB上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

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18. 如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝ $\text{[math]}$ AB ，点P在BC上运动（不与B ， C重合），过点P作PQ⊥EP ，交CD于点Q ，求在点P运动的过程中，BP多长时，CQ有最大值，并求出最大值．

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19. 如图所示，AB，CD是半径为5的 $\text{[math]}$ 的两条弦， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且点E，F位于点 $\text{[math]}$ 的两侧.若 $\text{[math]}$ 为EF上任意一点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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20. 材料：对于一个关于 $\text{[math]}$ 的二次三项式 $\text{[math]}$ ，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，例：求 $\text{[math]}$ 的最小值；
解：令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
请利用上述方法解决下列问题：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ 在边上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求矩形 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）设 $\text{[math]}$ 求矩形 $\text{[math]}$ 的面积最大值．

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21. 根据以下素材，探索完成任务．

如何确定拍照打卡板
素材一	设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形DEFG和等腰三角形ABC组成，且点B ， F ， G ， C四点共线．其中，点A到BC的距离为1.2米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．
素材二	因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形DEFG与等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一	推理最大高度	小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C ， D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DG长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二	探究等腰三角形ABC面积	假设CG长度为x米，等腰三角形ABC的面积为S ，求S关于x的函数表达式．
任务三	确定拍照打卡板	小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值．

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22. 阅读下列材料，解决问题：
配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用．例如我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子：
例：求多项式 $\text{[math]}$ 的最小值
解： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 多项式的最小值为−7，此时， $\text{[math]}$ ．
仿照上面的方法，解决下面的问题：

（1）当 $\text{[math]}$ 时，多项式 $\text{[math]}$ 有最值是；

（2）若代数式 $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系；

（3）如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的四个顶点分别在三角形的三边上，设 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．用含有 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ，并求出当 $\text{[math]}$ 的值为多少时， $\text{[math]}$ 的值最大？并判断此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积的关系．

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23. 请根据素材，完成任务.

素材一	如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，若保证 $\text{[math]}$ 始终为直角，则点A、B、C在以AB为直径的圆上.
素材二	如图，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，取AB的中点 $\text{[math]}$ ，连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知 $\text{[math]}$ ，可得OC≥CD.
素材三	如图，矩形ABCD是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板EF，且EF//AB，点 $\text{[math]}$ 到墙AB的距离为4米，到地面BC的距离为5米.点O为室内光源，OM、ON为光线， $\text{[math]}$ ，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小.若背光工作区BM+BN的和最大时，该实验室“可利用比”最高.
任务一	若素材一中的AB=4，求CD的最大值.
任务二	若素材二中的CD=6，求AB的最小值.
任务三	若任务二中的∠ACB=90°改成∠ACB=60°，其余条件不变，请直接写出AB的最小值.
任务四	若任务二中的∠ACB=90°，CD=6改成∠ACB=α，CD=m，请直接出AB的最小值.
任务五	当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时BM+BN的值

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24. （实际问题）小明家住 $\text{[math]}$ 楼．一天，他要把一根 $\text{[math]}$ 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示）那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？

（类比探究）为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．

探究：如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之有什么数量关系？

解：在 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均大于 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是 $\text{[math]}$ ．

（1）探究2：如图③，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有什么数量关系？

解： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

将上面三式相加得， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均大于 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有这样的数量关系： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

（2）探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是．

（3）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是．

（4）小明家住 $\text{[math]}$ 楼一天，他要把一根 $\text{[math]}$ 米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是米．

（5）公园准备修建一个四边形水池，边长分别为 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为 $\text{[math]}$ 平方米，则水池的最大周长为米．

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25.

【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 $\text{[math]}$ ，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ .

又因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 最小值为 ▲ .

【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 $\text{[math]}$ 转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.

【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ▲ .

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26. 旋转的图形带来结论的奥秘.已知 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ .

初步探索

素材1：

如图①，连接对应点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

素材2：

如图②，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 边上的高 $\text{[math]}$ 为半径作 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切.

问题解决

（1）（ⅰ）请证明素材1所发现的结论.

（ⅱ）如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ .证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

深入研究

（2）在 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得 $\text{[math]}$ .