2024年中考数学热点探究十一与三角形、四边形有关的辅助线

1. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，点P是边 $\text{[math]}$ 上的动点，点Q是边 $\text{[math]}$ 上的定点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（）

A . 保持不变 B . 逐渐变小 C . 先变大，再变小 D . 逐渐变大

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2. 如图， $\text{[math]}$ 半径长 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 三等分点，点 $\text{[math]}$ 为圆上一点，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 是由4块矩形拼接而成，矩形 $\text{[math]}$ 是由4个直角三角形和一个平行四边形拼接而成.则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且保持 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 恰好平分 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．若要求正方形 $\text{[math]}$ 的面积，则只需要知道 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ 的面积 B . $\text{[math]}$ 的面积 C . $\text{[math]}$ 的周长 D . $\text{[math]}$ 的周长

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5. 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN的值为（）

A . 6或2 B . 3或 $\text{[math]}$ C . 2或3 D . 6或 $\text{[math]}$

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6. 将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．给出下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，在BC上取点F ，使得CF＝CE ，连结AF交CD于点G ，连结AD ．若CG＝GF ，则 $\text{[math]}$ 的值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆，其半径为4．过点B作 $\text{[math]}$ 于点E ，点P为线段 $\text{[math]}$ 上一动点（点P不与B ， E重合），则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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10. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，作对角线 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，分别交对边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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11. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点F是 $\text{[math]}$ 的中点，点E是 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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12. 如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边AD上一动点(端点A ， D除外)，以CE为边作正方形CEFG ， EF与AB交于点H ，连接BE ， BF ， BG ．下列四个结论：①BG＝DE；②∠FAB＝∠FEB；③当点E为AD中点时，H也是EF的中点；④当点E在AD边上运动时，AH有最大值为2．其中正确的结论是(填序号)．

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13. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连结AD，BE交于点P．连接CP，若CP⊥AP时，则AE：CE= ；设△ABC的面积为S₁ ，四边形CDPE的面积为S₂ ，则 $\text{[math]}$ ＝．

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14. 如图，在平行四边形ABCD中， E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于 F．

（1）求证： AD=FC；

（2）连接BE，若△AEB的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．

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15. 如图1，已知四边形 $\text{[math]}$ 四条边上的中点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、依次连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、得到四边形 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形；

（2）连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形？

（3）如图2，若四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，则四边形 $\text{[math]}$ 是什么图形，请说明理由．

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16. 如图，在一个正六边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是该正六边形的中心，将该六边形的每条边延长，延长线的交点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）证明四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

（2）若 $\text{[math]}$ 的长为6，请计算正六边形 $\text{[math]}$ 的面积．

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17. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小；

（3）如图2，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

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18. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3 $\text{[math]}$ ，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

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19. “转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段.

（1）【问题情景】：如图（1），正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点（不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
①小聪：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的延长线的垂线；
②小明：在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程.

（2）【类比探究】：如图（2）点 $\text{[math]}$ 是菱形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点（不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合）， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ 的度数为（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

（3）【学以致用】：如图（3），在（2）的条件下，连结 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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20. 综合与实践
在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.

（1）如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，则图①中与△ADE相似的三角形有.(填序号)
①△ABD ②△ADC ③△ABC④△DCE

（2）如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，求证：△BDF∽△DEF

（3）在图2中，若AB=AC=5，BC=6，当△DEF的面积等于△ABC的面积 $\text{[math]}$ 时，求线段EF的长.

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21. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形.

（1）如图1， $\text{[math]}$ 是等边三角形，在 $\text{[math]}$ 上任取一点D（B、C除外），连接 $\text{[math]}$ ，我们把 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转60°，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，点D的对应点E.请根据给出的定义判断，四边形 $\text{[math]}$ （选择是或不是）等补四边形.

（2）如图2，等补四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

（3）如图3，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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一、选择题（每题3分，共24分）

二、填空题（每题4分，共20分）

三、解答题（共4题，共36分）

四、实践探究题（共4题，共40分）

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2024年中考数学热点探究十一 与三角形、四边形有关的辅助线

一、选择题（每题3分，共24分）

二、填空题（每题4分，共20分）

三、解答题（共4题，共36分）

四、实践探究题（共4题，共40分）

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