备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第13章图形的相似

1. 下列各组图形不是相似图形的是（）

A . B . C . D .

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2. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 将一张 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来 $\text{[math]}$ 相似，则 $\text{[math]}$ 的相邻两边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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4. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为.

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5. 如图，已知 $\text{[math]}$ ，则 CE的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别交AC，AB于点 $\text{[math]}$ 交BC于点 $\text{[math]}$ ，则DE的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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7. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D在BC边上，连接AD ，点C在线段AD上， $\text{[math]}$ ，且交AD于点E ， $\text{[math]}$ ，且交CD于点F ，则下列结论一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．
如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长．

【应用拓展】

（1）如图①，在△ABC中，点D是边AB的中点，点F为BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，则AC的长为．

（2）如图②，在△ABC中，点D为边BA延长线上一点，点E为BC上一点，连接DE交AC于点F，若点A为DB的中点，CE：EB=1：2，△DBE的面积为4，则△CFE（阴影部分）面积为．

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9. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
材料：三角形的内角平分线定理：
如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

（1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）【直接应用】如图3， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

（3）【拓展延伸】如图4， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 外角角平分线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
①找出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 这四条线段的比例关系，并证明；
②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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10. 如图，已知 $\text{[math]}$ ，那么添加下列一个条件后，不能判定 $\text{[math]}$ 的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A . B . C . D .

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12. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连结DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF=2，FB=1，则MG=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 如图，点 $\text{[math]}$ 在等边 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

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14. $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么要使 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相似，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 据 $\text{[math]}$ 墨经 $\text{[math]}$ 记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理 $\text{[math]}$ 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔 $\text{[math]}$ ，物体 $\text{[math]}$ 在幕布上形成倒立的实像 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对应点分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 若物体 $\text{[math]}$ 的高为 $\text{[math]}$ ，小孔 $\text{[math]}$ 到地面距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，则实像 $\text{[math]}$ 的高度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 如图， $\text{[math]}$ 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 $\text{[math]}$ 处与地面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 米，车头 $\text{[math]}$ 近似看成一个矩形，且满足 $\text{[math]}$ ，若盲区 $\text{[math]}$ 的长度是 $\text{[math]}$ 米，则车宽 $\text{[math]}$ 的长度为（）米.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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17. 学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．

（1）小丽先调整自己的位置至点 $\text{[math]}$ ，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （如图①），斜边 $\text{[math]}$ 平行于地面 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在一直线上），且点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ （较长直角边）的延长线上，此时测得边 $\text{[math]}$ 距离地面的高度 $\text{[math]}$ 为1.5米，小丽与古树的距离 $\text{[math]}$ 为16米，求古树的高度 $\text{[math]}$ ；

（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点 $\text{[math]}$ ，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （如图②），使直角边 $\text{[math]}$ （较短直角边）平行于地面 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在一直线上），点 $\text{[math]}$ 在斜边 $\text{[math]}$ 的延长线上，且测得此时边 $\text{[math]}$ 距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？

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18. 小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关 $\text{[math]}$ 因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置 $\text{[math]}$ 于是，他们做了以下尝试．

（1）如图 $\text{[math]}$ ，垂直于地面放置的正方形框架 $\text{[math]}$ ，边长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，在其上方点 $\text{[math]}$ 处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度和为 $\text{[math]}$ 那么灯泡离地面的高度 $\text{[math]}$ 为多少．

（2）不改变图 $\text{[math]}$ 中灯泡的高度，将两个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形框架按图 $\text{[math]}$ 摆放，请计算此时横向影子 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度和为多少？

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19. 如图，在正方形网格中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）

（1）在图（1）中，以 $\text{[math]}$ 为位似中心，位似比为1：2，在格点上将 $\text{[math]}$ 放大得到 $\text{[math]}$ ；请画出 $\text{[math]}$

（2）在图（3）中，线段 $\text{[math]}$ 上作点 $\text{[math]}$ ，利用格点作图使得 $\text{[math]}$

（3）在图（2）中，利用格点在 $\text{[math]}$ 边上作一个点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．

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20. 阅读下列材料，解决问题：
配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用．例如我们可以用配方法求代数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子：
例：求多项式 $\text{[math]}$ 的最小值
解： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 多项式的最小值为−7，此时， $\text{[math]}$ ．
仿照上面的方法，解决下面的问题：

（1）当 $\text{[math]}$ 时，多项式 $\text{[math]}$ 有最值是；

（2）若代数式 $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系；

（3）如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的四个顶点分别在三角形的三边上，设 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．用含有 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ，并求出当 $\text{[math]}$ 的值为多少时， $\text{[math]}$ 的值最大？并判断此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积的关系．

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21. 如图，点E在矩形ABCD的BC边上，将 $\text{[math]}$ 沿AE翻折得到△AEF，过点F作 $\text{[math]}$ ，交BC、AD于点P、Q．

（1）求证： $\text{[math]}$ ．

（2）已知 $\text{[math]}$ ，若△AEF与△AFQ相似，直接写出BE的长．

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22. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG²=GE•GD．

（1）求证：∠ACF=∠ABD；

（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．

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23. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠后得 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于E ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

（2）求证：△EMC∽△MAB.

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24. 已知：如图，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为对角线BD的中点，点 $\text{[math]}$ 在边AD上，CF交BD于点 $\text{[math]}$ .

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2） $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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备战2024年中考数学细点逐一突破真题训练第13章图形的相似

一、相似型

二、平行线平分线段成比例

三、相似三角形判定

四、相似三角形实际应用

五、相似三角形的相关证明计算

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