【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.3线段的垂直平分线同步练习

1. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 $\text{[math]}$ BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D ，连接CD ，若CD＝AD ， ∠B＝20°，则下列结论中不正确是（）

A . ∠CAD＝40° B . ∠ACD＝70° C . 点D为△ABC的外心 D . ∠ACB＝90°

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2. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 最小时， $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点B′恰好落在CD上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（　　）

A . 90° B . 92° C . 95° D . 98°

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5. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的平分线相交于点E， $\text{[math]}$ 边的垂直平分线相交于点D.若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知锐角 $\text{[math]}$ ，如图，
$\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 分别以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，在R $\text{[math]}$ 中，∠ABC=90°，以AC为边，作 $\text{[math]}$ ，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有(　　)
①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ．

A . ①②③ B . ②③④ C . ②③ D . ①②④

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8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF．其中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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9. 如图，△ABC中，AB＝AC，分别以A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=4， △ABC的面积为10，则BM+MD的最小值是．

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10. 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形，P是 $\text{[math]}$ 平分线上一动点连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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11. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，边AB的垂直平分线交BC于点 $\text{[math]}$ ，边BC的垂直平分线交BC于点 $\text{[math]}$ ，两条垂直平分线交于点 $\text{[math]}$ ，连接PA、PB、PC，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为°.

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12. 如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P₁ ， P₂ ， P₃ ，连接P₁P₂ ， PP₃ ，则2P₁P₂+PP₃的最小值为．

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13. 按下列要求画图并填空：

（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段的长.

（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM.那么线段CM是△ABC的 .（保留作图痕迹）

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14. 我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．

（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中作出△ABC的一条“等分积周线”；

（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由．

（3）如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=4，BC=10，CD=6．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；

（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=7cm，AC=10cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．

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15. 如图

（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：
如图①，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交等边三角形外角平分线 $\text{[math]}$ 所在的直线于点 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系.

小明发现：过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决.请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.

（2）（类比探究）
如图②，当 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上（除 $\text{[math]}$ 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明你的结论.

（3）（拓展应用）
当 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上延长线上，且满足 $\text{[math]}$ （其他条件不变）时，请判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由.

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【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.3线段的垂直平分线同步练习

一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、实践探究题

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