【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.2直角三角形同步练习

1. 已知下列命题，其中原命题与逆命题均为真命题的有（    ）
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；        ②两直线平行，内错角相等；
③直角三角形的两个锐角互余；        ④全等三角形的周长相等．

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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2. 已知命题甲：等角的余角相等；命题乙：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，则下列判断正确的是（）

A . 命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B . 命题乙的逆命题的结论是 $\text{[math]}$ C . 命题甲的逆命题是假命题 D . 命题乙的逆命题是假命题

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3. 在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A= $\text{[math]}$ ∠B= $\text{[math]}$ ∠C，②∠A=∠B-∠C，③∠A：∠B：∠C=3：4：5，④a：b：c=2：3： $\text{[math]}$ 其中，能确定△ABC是直角三角形的条件为（）

A . ②③④ B . ①③④ C . ①②④ D . ①②③

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4. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F.若∠CFB=α，则∠ABE等于（）

A . 180°-α B . 180°-2a C . 9o°+α D . 90°+2α

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5. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $\text{[math]}$ 四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．其中正确的有（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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7. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 垂直 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，有下列说法：① $\text{[math]}$ ． ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，④ $\text{[math]}$ ．其中，正确的是（　　）

A . ①③ B . ①②③ C . ②③④ D . ①②③④

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8. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，则下列四个说法：①x²+y²=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中正确的是（）

A . ①③④ B . ②④ C . ①②③ D . ①②③④

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9. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在线段 $\text{[math]}$ 上从点C向点B移动，同时，点E在线段 $\text{[math]}$ 上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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10. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P ，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为：．

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11. 如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠A＝30°，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处.当直线EF与直线AC垂直时，则AE的长为.

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12. 在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象分别与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在一次函数 $\text{[math]}$ 的图象上，则当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，点 $\text{[math]}$ 的坐标是．

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13. 1876年，菲尔德利用下图验证了勾股定理．

（1）请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）：
方法1：
方法2：

（2）利用”等面积法”。推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．

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14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，动点P从点A出发沿折线AC-CB向终点B运动，在AC上的速度为每秒小个单位长度，在BC上的速度为每秒1个单位长度．当点P不与点C重合时，以CP为边在点C的右上方作等边△CPQ，设点P的运动时间为t(秒)，点P到AB的距离为h．

（1） AC=

（2）求h与1的函数关系式，并写出t的取值范围．

（3）当点P在AC边上运动，且点Q到AB的距离为 $\text{[math]}$ h时，求t的值．

（4）作点Q关于直线AB的对称点为Q'，当以C、P、Q'为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出h的取值范围．

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15. 阅读材料并解答问题：
关于勾股定理的研究有一个很重要的内容是勾股数组，在数学课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b= $\text{[math]}$ （m²﹣1）和c= $\text{[math]}$ （m²+1）是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m和n（m＞n），则a=m²﹣n² ， b=2mn，c=m²+n²是勾股数．

（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；

（2）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如下图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树棵．

（3）某家俱市场现有大批如图所示的梯形边角余料(单位：cm)，实验初中数学兴趣小组决定将其加工成等腰三角形，且方案如下：
三角形中至少有一边长为10 cm；三角形中至少有一边上的高为8 cm，
请设计出三种面积不同的方案并在图上画出分割线，求出相应图形面积.

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【培优卷】2024年北师大版数学八（下）1.2直角三角形同步练习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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