北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期数学开学考试试卷

1. 如图所示，在正 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为所在边的中点，则以下向量中与 $\text{[math]}$ 相等的是 $\text{[math]}$ 　　 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 $\text{[math]}$ C . 3 $\text{[math]}$ D . 4 $\text{[math]}$

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3. 在△ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 9

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4. 若复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）不是纯虚数，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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5. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . -1 C . 2 D . -2

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6. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应向量 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点），设 $\text{[math]}$ ，以射线 $\text{[math]}$ 为始边， $\text{[math]}$ 为终边逆时针旋转的角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ 是两个不重合的平面，给出下面三个结论：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ 是两条异面直线，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

其中正确结论的序号为（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ③

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8. 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（）
①从 $\text{[math]}$ 件产品中抽取 $\text{[math]}$ 件进行检查；

②某校高中三个年级共有 $\text{[math]}$ 人，其中高一 $\text{[math]}$ 人、高二 $\text{[math]}$ 人、高三 $\text{[math]}$ 人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为 $\text{[math]}$ 的样本；

③某剧场有 $\text{[math]}$ 排，每排有 $\text{[math]}$ 个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请 $\text{[math]}$ 名听众进行座谈．

A . 简单随机抽样，系统抽样，分层抽样； B . 分层抽样，系统抽样，简单随机抽样； C . 系统抽样，简单随机抽样，分层抽样； D . 简单随机抽样，分层抽样，系统抽样；

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10. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为 $\text{[math]}$ ，方差为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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11. $\text{[math]}$ 的所有能取到的值构成的集合为.

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12. 已知关于t的一元二次方程 $\text{[math]}$ ，当方程有实数根时，则实数t的取值范围.

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13. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 周长的最大值为.

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14. 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，侧棱 $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的大小为.

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15. 若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），且∠C为钝角，则∠B=； $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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16. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角.

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17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

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18. 某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示.

组号	分组	回答正确的人数	回答正确的人数占本组的频率
第1组	$\text{[math]}$	a	0.5
第2组	$\text{[math]}$	18	x
第3组	$\text{[math]}$	b	0.9
第4组	$\text{[math]}$	9	0.36
第5组	$\text{[math]}$	3	y

（1）分别求出 $\text{[math]}$ 的值；

（2）从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？

（3）指出直方图中，这组数据的中位数是多少（取整数值）？

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19. 设 $\text{[math]}$ ，关于x的方程 $\text{[math]}$ 的两个根分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ =1+i时，求 $\text{[math]}$ 与m、n的值；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

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20.

（1）设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求实数m的值.

（2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个复数，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ · $\text{[math]}$ 是实数，求 $\text{[math]}$ .

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21. 如图，在△ABC中，边AB=2， $\text{[math]}$ ，且点D在线段BC上，

（1）若 $\text{[math]}$ ，求线段AD的长；

（2）若BD=2DC， $\text{[math]}$ ，求△ABD的面积.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；

（2）在锐角 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的面积．

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北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期数学开学考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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