湖南省衡阳市2021届高三下学期数学一模试卷

1. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 5

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2. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的子集，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则满足题意的 $\text{[math]}$ 的个数为（）

A . 3 B . 4 C . 7 D . 8

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3. 衡阳创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中常数项为-20，则含 $\text{[math]}$ 项的系数为（）

A . -6 B . -15 C . 6 D . 15

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5. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 4

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7. 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则此双曲线的离心率为（

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），将 $\text{[math]}$ 的图像向右平移 $\text{[math]}$ 个单位得到函数 $\text{[math]}$ 的图像，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 图像的连续相邻三个交点，若 $\text{[math]}$ 是钝角三角形，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：

月份	2020年6月	2020年7月	2020年8月	2020年9月	2020年10月
月份编号 $\text{[math]}$	1	2	3	4	5
销量 $\text{[math]}$ /部	52	95	$\text{[math]}$	185	227

若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 正相关 D . 预计12月份该手机商城的5G手机销量约为328部

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10. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为常数，则称数列 $\text{[math]}$ 为“吉祥数列”.则下列数列 $\text{[math]}$ 为“吉祥数列”的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），过其准线上的点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ D . 线段 $\text{[math]}$ 中点的横坐标为1

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，以下结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是偶函数 B . $\text{[math]}$ 最小值为2 C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . $\text{[math]}$ 的零点个数为5

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13. 使得“ $\text{[math]}$ ”成立的一个充分条件是.

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14. 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

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15. 设圆锥的顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆锥底面圆 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上的一点（异于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为 $\text{[math]}$ ，则圆锥的体积为.

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16. 阿波罗尼期（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $\text{[math]}$ 的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 间的距离为4，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹所围成的图形的面积为； $\text{[math]}$ 最大值是.

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17. $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列.

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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18. 已知 $\text{[math]}$ 数列满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明：数列 $\text{[math]}$ 为等差数列.

（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.

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19. 槟榔芋又名香芋，衡阳市境内主要产于祁东县.槟榔芋富含淀粉、蛋白质、脂肪和多种维生素，可加工成芋兰片，芋丝等副食品，深受广大消费者喜爱.衡阳市某超市购进一批祁东槟榔芋，并随机抽取了50个统计其质量，得到的结果如下表所示：

质量/克

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

数量/个

2

5

12

22

6

3

（1）若购进这批槟榔芋100千克，同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这批槟榔芋的数量（所得结果四舍五入保留整数）；

（2）以频率估计概率，若在购进的这批槟榔芋中，随机挑选3个，记3个槟榔芋中质量在 $\text{[math]}$ 间的槟榔芋数量为随机变量 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ .

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20. 如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

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21. 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的公共点的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上任意点，且圆 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.试问： $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的最大值；

（2）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得只有唯一的 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，若存在，试求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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湖南省衡阳市2021届高三下学期数学一模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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质量/克	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
数量/个	2	5	12	22	6	3

湖南省衡阳市2021届高三下学期数学一模试卷

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