黑龙江省大庆市2021届高三理数第一次教学质量检测试卷（一模）

修改时间：2024-07-13 浏览次数：177 类型：高考模拟编辑

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一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中，含 $\text{[math]}$ 的项的系数是（）

A . -10 B . -5 C . 10 D . 20

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4. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 $\text{[math]}$ ，空气的温度是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分钟后物体的温度 $\text{[math]}$ 可由公式 $\text{[math]}$ 求得. 把温度是 $\text{[math]}$ 的物体，放在 $\text{[math]}$ 的空气中冷却 $\text{[math]}$ 分钟后，物体的温度是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 约为（）（ $\text{[math]}$ ）

A . 1.69 B . 2.89 C . 4.58 D . 6.61

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6. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 设 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 的偶函数，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 常用的A4打印纸的长宽比例是 $\text{[math]}$ ，从A4纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例”．白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着广泛的应用．已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台，塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比，都等于白银比例，若两观景台之间高度差为60米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）

A . 285米 B . 268米 C . 2558米 D . 248米

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9. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为矩形，点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的射影为 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四棱锥 $\text{[math]}$ 的表面积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线 $\text{[math]}$ ，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与 $\text{[math]}$ 轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点 $\text{[math]}$ ，平行于对称轴的光线经过点 $\text{[math]}$ 反射后，反射光线交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的中点到准线的距离为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 零点的个数是（）

A . 6 B . 5 C . 4 D . 3

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二、填空题

13. 为了研究某班学生的脚长 $\text{[math]}$ (单位：厘米)和身高 $\text{[math]}$ (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\text{[math]}$ ．已知这组数据的样本中心点为（22.5，160），若该班某学生的脚长为25厘米，据此估计其身高为厘米．

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14. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的右顶点到其中一条渐近线的距离为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为．

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15. 用总长 $\text{[math]}$ m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m，则该容器容积的最大值为m³（不计损耗）．

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16. 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ （填“平行”或“不平行”）；在正方体的12条面对角线中，与平面 $\text{[math]}$ 平行的面对角线有条．

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三、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．

（1）请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；

注：如果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分.

（2）在（1）的条件下，令 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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18. 2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人，高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．

（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？

（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取4人去粘贴宣传标语，设这4人中含有高二学生 $\text{[math]}$ 人，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列；

（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为： $\text{[math]}$

后10天剩菜剩饭的重量为： $\text{[math]}$

借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．

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19. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，短轴长为 $\text{[math]}$ ，椭圆左顶点到左焦点的距离为 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）如图，已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是椭圆的右顶点，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点都在 $\text{[math]}$ 轴上方，且 $\text{[math]}$ ．证明直线 $\text{[math]}$ 过定点，并求出该定点坐标．

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求点 $\text{[math]}$ 的直角坐标；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的值．

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23. 已知函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；

（2）证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 2．

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黑龙江省大庆市2021届高三理数第一次教学质量检测试卷（一模）

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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