湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期数学2月联考试卷

1. 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩 $\text{[math]}$ 占近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（）

A . 100 B . 125 C . 150 D . 175

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3. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线过点 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若两个非零向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为 $\text{[math]}$ ，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（Platonic solids）．某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳．正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数 $\text{[math]}$ 棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为（）

A . 30 B . 20 C . 12 D . 10

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9. 下列命题中，正确的命题有（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是同一个函数 B . 命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定为“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ” C . 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分不必要条件 D . 若函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图像可由函数 $\text{[math]}$ 的图像向左平移 $\text{[math]}$ 个单位而得到 C . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条对称轴 D . $\text{[math]}$ 的一个对称中心是 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点），且 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别沿DE．DF折起，使A、C两点重合于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 到平面DEF的距离为 $\text{[math]}$

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13. 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 若函数 $\text{[math]}$ 的图像过定点P，且点P在幂函数 $\text{[math]}$ 的图像上，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 某同学向王老师请教一题：若不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．王老师告诉该同学：“ $\text{[math]}$ 恒成立，当且仅当 $\text{[math]}$ 时取等号，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. 若一个圆的圆心是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，且该圆与直线 $\text{[math]}$ 相切，则该圆的标准方程为．过点 $\text{[math]}$ 作该圆的两条切线 $\text{[math]}$ ，切点分别为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为．

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17. 设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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18. 在 $\text{[math]}$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）如图，M为边AC上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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19. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E为BC的中点，设Q为PC上一点．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若直线EQ与平面PAC所成的角的正切值为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

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20. 某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得 $\text{[math]}$ 分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得-20分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 $\text{[math]}$ ，回答第三个问题正确的概率是 $\text{[math]}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；

（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分 $\text{[math]}$ 的分布列和期望；

（3）求这位参赛者闯关成功的概率．

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21. 已知点A、B坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线AP、BP相交于点P，且它们斜率之积是 $\text{[math]}$ ．

（1）试求点P的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）已知直线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线（不与x轴重合）与轨迹 $\text{[math]}$ 相交于M．N两点，过点M作 $\text{[math]}$ 于点D．求证：直线ND过定点，并求出定点的坐标．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期数学2月联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

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