解：设

A C \cap D E = O

，连接OQ，由（1）得：

D E ⊥

平面PAC，

∴ $∠ E Q O$ 为EQ与平面PAC所成的角，

∴ $\tan ∠ E Q O = \frac{O E}{O Q} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，∵ $E O = \sqrt{2}$ ，∴ $O Q = 2$ ，

∴Q为PC的中点

以A为原点，AE，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

∴ $A (0 ， 0 ， 0)$ ， $E (2 ， 0 ， 0)$ ， $C (2 ， 2 ， 0)$ ， $P (0 ， 0 ， 4)$ ， $Q (1 ， 1 ， 2)$ ， $D (0 ， 2 ， 0)$ ，

设平面AEQ的一个法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，

∴ ${\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overset{⇀}{A E} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overset{⇀}{A Q} = 0 \end{array}$ ，∴ ${\begin{array}{l} 2 x = 0 \\ x + y + 2 z = 0 \end{array}$ ，

令 $z = - 1$ ，∴ $y = 2$ ， $x = 0$ ，∴ $\vec{n} = (0 ， 2 ， - 1)$

易得平面ACQ的一个法向量为 $\vec{D E} = (2 ， - 2 ， 0)$ ，

∴ $\cos 〈 \vec{D E} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{D E} \cdot \vec{n}}{| \vec{D E} | \cdot | \vec{n} |} = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，

∴二面角 $E - A Q - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期数学2月联考试卷