江苏省南通市如皋市2021届九年级上学期数学期中考试试卷

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 与点 $\text{[math]}$ 在同一反比例函数图象上的点是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 一个圆锥的底面半径为 $\text{[math]}$ ，母线长为 $\text{[math]}$ ，这个圆锥的侧面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 将抛物线 $\text{[math]}$ 平移得到抛物线 $\text{[math]}$ 的步骤可以是（）

A . 向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B . 向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C . 向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D . 向右平移4个单位，再向下平移1个单位

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5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）

A . 40° B . 50° C . 80° D . 100°

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6. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ ，则代数式 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，圆心 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的半径为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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8. 如图，已知在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若抛物线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 恰有两个交点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一个动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线交于点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 恰好在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，点P是反比例函数y= $\text{[math]}$ （x＜0）图象上一点，PA垂直于y 轴，垂足为A，PB垂直于x轴，垂足为点B，若矩形 PBOA的面积为6，则k的值为.

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12. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = .

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13. 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的二次函数图象开口向（填“上”或“下”）

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14. 如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，则半圆的半径OA的长为．

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15. 二次函数 $\text{[math]}$ 在3≤ $\text{[math]}$ ≤5范围内的最小值为.

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16. 据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为尺．（结果用最简根式表示）

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17. 调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）.

售价 $\text{[math]}$ （元/双）

200

240

250

400

销售量 $\text{[math]}$ （双）

30

25

24

15

已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为元.

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18. 定义：在平面直角坐标系中，若点 $\text{[math]}$ 满足横、纵坐标都为整数，则把点 $\text{[math]}$ 叫做“整点”.如： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是“整点”.抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若该抛物线在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的部分与线段 $\text{[math]}$ 所围的区域（包括边界）恰有 $\text{[math]}$ 个整点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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19. 如图， $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ 和弦 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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20. 如图，已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若一次函数图象与y轴交于点C ，点D为点C关于原点O的对称点，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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21. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

（2）若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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22. 小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地，设小丽出发第 $\text{[math]}$ 时，小丽、小明离B地的距离分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与x之间的数表达式 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与x之间的函数表达式是 $\text{[math]}$ .

（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 $\text{[math]}$ .

（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？

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23.

（1）如图1，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证 $\text{[math]}$ .

（2）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆内，请你用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹），

①在图2中，作弦 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；

②在图3中，以 $\text{[math]}$ 为边作一个 $\text{[math]}$ 的圆周角.

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24. 定义： $\text{[math]}$ 叫做函数 $\text{[math]}$ 的“反函数”.比如 $\text{[math]}$ 就是 $\text{[math]}$ 的“反函数”.数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 的常数），若点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，则点 $\text{[math]}$ 也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称.

根据上面的定义和提示，解答下列问题：

（1） $\text{[math]}$ 的图象的对称轴是；

（2） ①直接写出函数 $\text{[math]}$ 的“反函数”的表达式为；
②在如图所示的平面直角坐标系中画出 $\text{[math]}$ 的“反函数”的大致图象；

（3）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 的“反函数”图象交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 的横坐标小于点 $\text{[math]}$ 的横坐标），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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25. 如图，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为垂足.以 $\text{[math]}$ 圆心， $\text{[math]}$ 的半径作圆，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .在 $\text{[math]}$ 上任取一点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 按顺时针方向分布，点 $\text{[math]}$ 落在射线 $\text{[math]}$ 上，且不在 $\text{[math]}$ 内.若 $\text{[math]}$ 的某一边所在直线与 $\text{[math]}$ 相切，我们称该边为 $\text{[math]}$ 的“相伴切边”.

（1）如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“相伴切边”， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）是否存在 $\text{[math]}$ 三边中两边都是 $\text{[math]}$ 的“相伴切边”的情形？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.

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26. 已知点 $\text{[math]}$ 为二次函数 $\text{[math]}$ 图象的顶点，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴正半轴， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）判断顶点 $\text{[math]}$ 是否在直线 $\text{[math]}$ 上，并说明理由.

（2）如图1，二次函数图象与直线相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 点的坐标；

（3）如图2，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内，若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在二次函数图象上，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围，并结合 $\text{[math]}$ 的取值范围确定 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 大小关系.

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江苏省南通市如皋市2021届九年级上学期数学期中考试试卷

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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售价 $\text{[math]}$ （元/双）	200	240	250	400
销售量 $\text{[math]}$ （双）	30	25	24	15

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一、单选题

二、填空题

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