如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A(−1,0) 、 B(3,0) 两点，且与 y 轴交于点 C .

题型：综合题题类：真题难易度：困难

江苏省盐城市2018年中考数学试卷

如图①，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .

（1）、求抛物线的表达式；

（2）、如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $\text{[math]}$ 轴，并沿 $\text{[math]}$ 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），连接 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上方抛物线上有一动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）若点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并求此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $\text{[math]}$ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

举一反三

如图①，直线y= $\text{[math]}$ x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F₁交x轴于另一点B（1，0）．

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣ $\text{[math]}$ ），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．

已知：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：

x	…	0	1	2	3	4	5	…
y	…	3	0	﹣1	0	m	8	…

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（﹣1，0），B（0，3），O（0，0），将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O．

根据以下素材，探索完成任务

研究植物叶片的生长状况
背景素材	大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
	如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分，且经过原点．
	心形叶片的对称轴直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 分别交抛物线和直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 点，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是叶片上的一对对称点， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ．
问题解决
任务1	确定心形叶片的形状	求抛物线的解析式及顶点 $\text{[math]}$ 的坐标．
任务2	研究心形叶片的尺寸	求叶片此处的宽度 $\text{[math]}$ ．

已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．

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