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题型：解答题题类：难易度：困难

广西南宁市2024-2025学年高二上学期期末教学调研数学试卷

设 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的左，右焦点，已知点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ 面积的最大值为2.

（1）、求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）、过 $\text{[math]}$ 作斜率为1的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的面积.

（3）、黄金分割的比例 $\text{[math]}$ 被认为是最能引起美感的比例，在艺术和设计中广泛应用.若椭圆上一动点到其焦点距离的最小值与最大值之比为黄金分割比的平方，即 $\text{[math]}$ ，则称此椭圆为“完美椭圆”.现有一簇椭圆 $\text{[math]}$ 均是“完美椭圆”，其中 $\text{[math]}$ 便是（1）中的椭圆.另一方面，若在椭圆 $\text{[math]}$ 上任取一点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为切点作椭圆 $\text{[math]}$ 的切线与直线 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作圆，设此圆恒过椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

举一反三

已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1， $\text{[math]}$ ）．过点P（1，1）分别作斜率为k₁ ， k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．

椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，长轴长为12，直线y=kx﹣4与椭圆交于A，B，弦AB的长为 $\text{[math]}$ ，求此直线的斜率．

已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的两点。

如图，已知抛物线C：y²=2x的焦点为F，O为坐标原点，直线l：y=kx+b与抛物线C相交于A，B两点

(Ⅰ)当k=1，b=-2时，求证：OA⊥OB；

(Ⅱ)若OA⊥OB，点O关于直线l的对称点为D，求DF的取值范围．

设椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率等于（）

已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，下列结论正确的是（）

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