- 二一组卷

题型：综合题题类：难易度：困难

广东省深圳市罗湖区翠园实验学校，桂圆中学等学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

某数学兴趣小组进行了如下探究活动，请你与他们一起参与吧．

（1）、问题背景：如图1，在等腰直角 $\text{[math]}$ 中，点C是 $\text{[math]}$ 边上的中点，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 并延长至点E，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请证明： $\text{[math]}$ ；

（2）、迁移应用：如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B旋转，连接 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，请你判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系以及位置关系，并证明．

（3）、拓展延伸：如图3，将（2）中等腰直角 $\text{[math]}$ 换成等腰直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点O旋转，连接 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，当点A、C、D三点共线时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你求出线段 $\text{[math]}$ 的长．

举一反三

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°．把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是{#blank#}1{#/blank#}．（结果保留π）．