- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：普通

浙江省杭州市春蕾中学2024-2025学年八年级（上）期中考试数学

如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，

（1）、求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

（2）、猜想： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系为 $\text{[math]}$ 不需证明 $\text{[math]}$ ；

（3）、当 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到图 $\text{[math]}$ 位置时，猜想线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论．

举一反三

在 $\text{[math]}$ 中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．

学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点E，若E为 $\text{[math]}$ 中点，则有 $\text{[math]}$ ．请利用以上方法解决下列问题．

问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线 $\text{[math]}$ ，并在直线 $\text{[math]}$ 上依次取C点和D点，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，补全图形，指出测量哪条线段就可知道 $\text{[math]}$ 的长，请加以证明．

问题2：【深入思考】如图3，在 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明．

问题3：如图4，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 中点，连结 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长______．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的中线，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点E，交 $\text{[math]}$ 于点F，连结 $\text{[math]}$ ．求证：

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

如图，点E、F在线段BC上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

如图，在等腰直角 $\text{[math]}$ 中，点E，F将斜边 $\text{[math]}$ 三等分，且 $\text{[math]}$ ，点P在 $\text{[math]}$ 的边上，则满足 $\text{[math]}$ 的点P的个数是（　　）

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