- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：困难

广东省广州市广雅中学2024届高三下学期教学情况检测（三）数学试题

“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量 $\text{[math]}$ 对应取值 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，其单位为bit的熵为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．（当 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ．）

（1）、若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为 $\text{[math]}$ ，正面向上的次数为 $\text{[math]}$ ，分别比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 时对应 $\text{[math]}$ 的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；

（2）、若拋掷一枚质地均匀的硬币 $\text{[math]}$ 次，设 $\text{[math]}$ 表示正面向上的总次数， $\text{[math]}$ 表示第 $\text{[math]}$ 次反面向上的次数（0或1）． $\text{[math]}$ 表示正面向上 $\text{[math]}$ 次且第 $\text{[math]}$ 次反面向上 $\text{[math]}$ 次的概率，如 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．对于两个离散的随机变量 $\text{[math]}$ ，其单位为bit的联合熵记为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；