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题型：证明题题类：难易度：困难

河北省沧州市河间市英华学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

阅读下列材料，解答相应问题：

已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是高，设 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．

如图1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，我们容易发现： $\text{[math]}$ ，因此得到： $\text{[math]}$ ．

（1）、小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论 $\text{[math]}$ 还成立吗？若成立，借助图 $\text{[math]}$ 证明你的猜想

（2）、进一步猜想：当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h₁ ， h₂与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．(借助答题卡上的图4)

（3）、延伸，当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上时，借助图 $\text{[math]}$ ，直接写出结论，不必证明．

举一反三

已知点C是线段BD上一动点，分别以线段BC和线段DC为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，⊙O是△ABC的外接圆．

如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AC上，且∠CDE=20°，现将△CDE沿直线DE折叠得到△FDE，连结BF．∠BFE的度数是{#blank#}1{#/blank#}.

如图，等边三角形纸片ABC中，AB=4．D是AB边的中点，E是BC边上一点现将△BDE沿DE折叠，得△B'DE．连接CB'，则CB'长度的最小值为（）

如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．

（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；

（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E ，连接PQ交AB于D ，在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，同时点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动的时间是 $\text{[math]}$ 秒，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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