- 二一组卷

题型：填空题题类：难易度：普通

四川省绵阳市游仙区2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

已知一个边长为4的正方形OABC，按如图所示的方式放在平面直角坐标系中，其中的一个顶点与原点重合，两边分别与x轴、y轴重合．则顶点A的坐标是．

举一反三

如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0），B（0，3），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为{#blank#}1{#/blank#}时，△BOC与△AOB相似．

如图， $\text{[math]}$ 是正方形，E是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，垂足分别为F，G.求证： $\text{[math]}$ .

如图，已知边长为 4 的正方形截去一角成为五边形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上的一点 $\text{[math]}$ 使矩形 $\text{[math]}$ 有最大面积，则矩形 $\text{[math]}$ 的面积最大值是{#blank#}1{#/blank#}.

（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________；

（2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD= $\text{[math]}$ ，求线段DH的长．

【模型呈现】

（1）发现：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，可以推理得到 $\text{[math]}$ ，进而得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．我们把这个数学模型称为“ $\text{[math]}$ 字”模型或“一线三等角”模型；

【模型应用】（2）应用：如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．请探究线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为平面内一点．若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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