【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，
是一个正方形花园，
是它的两个门，且
， 要修建两条路
和
， 这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形中，点E是
上一点，连接 ， 过点A作的垂线交
于点F，垂足为点G，若
， 
， 求的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在
中，
， 
， 点D是
上一点，连接
， 作
交
于点E，求证：
．
【拓展应用】
（3）如图4，在中， ， 
， 
， 作点A关于的对称点D，点E为
上一点，连接
， 过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则
_________．
