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题型：解答题题类：难易度：普通

山西省临汾市洪洞二中2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

阅读与思考

互为有理化的一对无理根的一元二次方程

我们知道，在一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0，a ， b ， c是有理数）中，当Δ＞0时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为x₁＝ $\text{[math]}$ ，x₂＝ $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是一个无理数，则x₁ ， x₂也都是无理数，我们把x₁和x₂这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根．

例如：一元二次方程x²-3x+1＝0的两根为 $\text{[math]}$ ，x₂＝____，它们就是互为有理化的一对无理根．

又如：方程x²＝7的两根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也是互为有理化的一对无理根．

判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件：

①x₁和x₂是两个无理数；②x₁•x₂是一个有理数．

如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是无理数，

且 $\text{[math]}$ ＝____．

∴x₁ ， x₂是互为有理化的一对无理根．

显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为 $\text{[math]}$ ，积为 $\text{[math]}$ ．

任务：

（1）、填空：材料中的x₂＝， x₁•x₂ ＝．

（2）、求一元二次方程x²-x-5＝0的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．

（3）、若方程x²+px+q＝0的两根为互为有理化的一对无理根，且一根为 $\text{[math]}$ ，直接写出方程x²+px+q＝0的另一根及p ， q的值．

举一反三

若x=2是一元二次方程x²+x﹣a=0的解，则a的值为{#blank#}1{#/blank#}．

已知一元二次方程ax²+ax﹣4=0有一个根是﹣2，则a值是（）

若关于x的方程x²＋(m+1)x＋m＝0有一个解为3，则m的值是{#blank#}1{#/blank#}

关于x的一元二次方程x²﹣（k+3）x+2k+2=0．

关于x的方程x²+5x–m=0的一个根是2，则m={#blank#}1{#/blank#}．

如果a是方程 $\text{[math]}$ 的根，那么代数式 $\text{[math]}$ 的值是{#blank#}1{#/blank#}．

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