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题型：综合题题类：真题难易度：困难

山东省泰安市2021年中考数学试卷

二次函数y＝ax²+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C ，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC ，交于点Q ，过点P作PD⊥x轴于点D ．

（1）、求二次函数的表达式；

（2）、连接BC ，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；

（3）、请判断： $\text{[math]}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．

举一反三

如图，A、B是双曲线 $\text{[math]}$ 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　）

如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．

如图，EF为△ABC的中位线，△ABC的周长为12cm，则△AEF的周长为{#blank#}1{#/blank#}cm．

抛物线 $\text{[math]}$ 上有两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ , 则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系是{#blank#}1{#/blank#}.

【探究与证明】

【问题背景】从小学到中学，一副小小的三角板几乎是每个人上学必备的最简单、实用的学习及探究数学问题的工具.在一次数学兴趣小组活动中，老师组织同学们用三角板工具开展数学探究活动.

【操作思考】彬彬和明明同学将两块一大一小的三角板按照如图1所示方式摆放，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .他们尝试着将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，发现在三角板 $\text{[math]}$ 旋转过程中，顶点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 边的距离是不断变化的，他们经过反复操作、分析、推理和运算，提出了以下的数学问题.请你来解答这些问题.

图1 图2 备用图

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径的圆弧过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}.

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