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题型：阅读理解题类：模拟题难易度：困难

山西省太原市2021年中考数学二模试卷

请阅读下面的材料，并完成相应的任务．

仅用圆规三等分．六等分圆是容易的，而四等分、五等分…则有一定难度，历史上卡尔·弗雷德里希·高斯首次解决了将圆十七等分的难题．拿破仑·波拿巴当年曾向数学家提出这样一个问题：只用圆规，不用直尺，如何把一个圆周四等分？这个难题最终由意大利数学家马斯凯罗尼解决了．为此，他还写了名为《圆规几何》的书献给拿破仑，书中还包含了更深刻的作图理论．他给出的作图步骤和部分证明如下：

如图1，

第一步：在⊙O上任取一点A，以点A为一个分点，将⊙O六等分，其他分点依次为B、C、D、E、F；

第二步：分别以A、D两点为圆心，以 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）为半径作弧，两弧交于点G；

第三步：以点A为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作弧．与⊙O交于M，N两点．

则点A、M、D、N是⊙O的四等分点．

证明：如图2，

连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ．

任务：

（1）、完成证明；

（2）、若⊙O的半径为2，则 $\text{[math]}$ 的长为， $\text{[math]}$ 的长为．

举一反三

如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于 {#blank#}1{#/blank#}

如图，如果边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正方形ABCD的外部的边如图位置开始顺时针连续滚动，当它滚动4次时，点P所经过的路程是{#blank#}1{#/blank#}．

如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O=60°，则∠C=（）

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D ，交AC于点E ，则△BEC的周长为（）

如图，CD为圆O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．

（1）求∠B的度数．

（2）若 $\text{[math]}$ ，求圆O的半径．

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