- 二一组卷

题型：综合题题类：常考题难易度：困难

辽宁省大连市甘井子区2019-2020学年八年级下学期数学期末试卷

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上．

（1）、若 $\text{[math]}$ ，

①如图， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

②如图，点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明你的猜想．

（2）、如图，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，求 $\text{[math]}$ 的最大值（结果用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

（3）、如图，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值（结果用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）．

举一反三

定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC ．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB ，在AB同侧有∠ADB和∠ACB ，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC ，在CB同侧有∠BAC和∠BDC ，此时∠BAC＝∠BDC ．

如图1，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成两个小矩形，EF与GH交于点P，△GBF的周长为m.

对于任意正实数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，只有 $\text{[math]}$ 时，等号成立.结论：在 $\text{[math]}$ (，均为正实数）中，若为定值，则 $\text{[math]}$ ，只有当 $\text{[math]}$ 时，a+b有最小值 $\text{[math]}$ .根据上述内容，回答下列问题：

综合与实践

问题情境：如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E分别作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交直线 $\text{[math]}$ 于点F，G．试猜想线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明．

给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

【问题提出】已知：点E ， F分别为正方形ABCD的边BC ， CD上的点，∠EAF＝45°，如图1，探究图中线段EF ， BE ， DF之间的数量关系．

【思路探索】王明同学的探究思路如下：延长CB到点G ，使BG＝DF ，连接AG ．

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