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题型：解答题题类：模拟题难易度：困难

北京市房山区2021届高三数学一模试卷

对于数列 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个数中最大的数，并称数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“控制数列”，如数列 $\text{[math]}$ 的“控制数列”是 $\text{[math]}$ .

（1）、若各项均为正整数的数列 $\text{[math]}$ 的“控制数列”为 $\text{[math]}$ ，写出所有的 $\text{[math]}$ ；

（2）、设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（i）当 $\text{[math]}$ 时，证明：存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是等差数列；

（ii）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值(结果可含 $\text{[math]}$ ).

举一反三

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中有n个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．

已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

已知数列 $\text{[math]}$ 中，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为{#blank#}1{#/blank#}

数列 $\text{[math]}$ …的一个通项公式为（）

已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为递增数列，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ {#blank#}1{#/blank#}．

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