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题型：综合题题类：常考题难易度：普通

北京市通州区2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 外一点P．

求作：直线PQ，使直线PQ∥直线 $\text{[math]}$ ．

作法：如图2，

①在直线 $\text{[math]}$ 上取一点A，连接PA；

②作PA的垂直平分线MN，分别交直线 $\text{[math]}$ ，线段PA于点B，O；

③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；

④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．

根据上述作图过程，回答问题：

（1）、用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；

（2）、完成下面的证明：

证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，

∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

∴PQ∥ $\text{[math]}$ （ ▲ ）（填推理的依据）．

举一反三

如图，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，求证：AB∥EF．

如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．

请你先在BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC.

如图，正方形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E在边C上，且 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿AE对折至 $\text{[math]}$ ，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.则下列结论：① $\text{[math]}$ ：② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ：④ $\text{[math]}$ .其中正确的有{#blank#}1{#/blank#}（把你认为正确结论的序号都填上）

如图，是学生用两块三角板拼成的图形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点在同一条直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点在同一条直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

如图， $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 的平分线与线段 $\text{[math]}$ 延长线交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

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