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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

河北省唐山市路南区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷

已知 $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形，边 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点D是射线 $\text{[math]}$ 上的动点，当点D不与点A重合时，将 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针方向旋转60°得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）、如图1，求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形．

（2）、设 $\text{[math]}$ ，

①如图2，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的周长存在最小值，请求出此最小值；

②如图1，若 $\text{[math]}$ ，直接写出以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

举一反三

问题原型：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．过点D作△BCD的BC边上的高DE，

易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为 $\text{[math]}$ ．

初步探究：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．

简单应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．直接写出△BCD的面积．（用含a的代数式表示）

如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

已知：直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD={#blank#}1{#/blank#}．

在△ABC中，∠B+∠ACB=30°，AB=4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图

如图，在△ABC中，AB＝ $\text{[math]}$ ，AC＝ $\text{[math]}$ ，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB₁C₁ ，连接BC₁ ，则BC₁的长为（）

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