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题型：解答题题类：常考题难易度：容易

北京四中2020—2021学年度高一上学期数学期中考试试卷

区间 $\text{[math]}$ 的长度定义为 $\text{[math]}$ .函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，区间 $\text{[math]}$ .

（1）、求 $\text{[math]}$ 的长度；

（2）、求 $\text{[math]}$ 的长度的最大值.

举一反三

制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2﹣1）+（5﹣3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，当0≤x≤k时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为5，则k的值为{#blank#}1{#/blank#}．

经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y= $\text{[math]}$ （υ＞0）．

设 $\text{[math]}$ 为有公共焦点 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的一个交点，且 $\text{[math]}$ ，若椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为{#blank#}1{#/blank#}.

已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的两个动点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为{#blank#}1{#/blank#}．

在下列命题中，正确命题的序号为{#blank#}1{#/blank#}（写出所有正确命题的序号）．

①函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；

②已知定义在 $\text{[math]}$ 上周期为4的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定为偶函数；

③定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则 $\text{[math]}$ ；

④已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 有极值的必要不充分条件；

⑤已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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