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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

甘肃省兰州市交通大学附属中学2021届九年级上学期数学10月月考试卷

（阅读）

如图1，若 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在同一直线上，则我们把 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 称为旋转相似三角形.

（1）、（理解）

如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点D在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是旋转相似三角形.

（2）、（应用）

如图3， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是旋转相似三角形， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

（3）、（拓展）

如图4， $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 的对角线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .试在边 $\text{[math]}$ 上确定一点E，使得四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，并说明理由.

举一反三

在△ABC和△A′B′C′中，如果AB=9，BC=8，AC=5，A′B′= $\text{[math]}$ ， B′C′= $\text{[math]}$ ， A′C′=4，那么（）

如图，点D是等边△ABC内的一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了{#blank#}1{#/blank#}度．

如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=3，EM+CM的最小值为{#blank#}1{#/blank#}.

在等边△ABC中，

古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的内切圆相切.若 $\text{[math]}$ 的周长为12，则 $\text{[math]}$ 的最大值为{#blank#}1{#/blank#}.

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