- 二一组卷

题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

北京市一五九中学2020年中考数学三模试卷

小明研究了这样一道几何题：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，请问 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上的中线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：

特例验证：

（1）、①如图2，当 $\text{[math]}$ 为等边三角形时，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；②如图3，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 长为．

猜想论证：

（2）、在图1中，当 $\text{[math]}$ 为任意三角形时，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并给予证明．

拓展应用：

（3）、如图4，在四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在四边形内部是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点 $\text{[math]}$ 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的中线 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，说明理由．