观察下列各数： 133可以分成13和3两部分，13﹣3×2=7×1，133能被7整除； 245可以分成24和5两部分，24﹣5×2=14=7×2，245能被7整除； 2394可以分成239和4两部分，239﹣4×2=231=7×33，2394能被7整除； 6139可以分成613和9两部分，613﹣9×2=595=7×75，6139能被7整除； …

题型：综合题题类：常考题难易度：普通

因式分解的应用

观察下列各数：

133可以分成13和3两部分，13﹣3×2=7×1，133能被7整除；

245可以分成24和5两部分，24﹣5×2=14=7×2，245能被7整除；

2394可以分成239和4两部分，239﹣4×2=231=7×33，2394能被7整除；

6139可以分成613和9两部分，613﹣9×2=595=7×75，6139能被7整除；

…

（1）、求证：对于任意一个自然数，将其个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原自然数能被7整除；

（2）、将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K（K为正整数，1≤K≤15）倍，所得之和能被7整除，求当K为何值时使得原多位自然数一定能被7整除．

举一反三

计算：125²﹣50×125+25²=（　　）

已知实数a、b满足ab=1，a=2﹣b，则a²b+ab²={#blank#}1{#/blank#}

已知a²﹣a﹣1=0，则a³﹣a²﹣a+2016={#blank#}1{#/blank#}．

a、b、c为某一三角形的三边，且满足a²+b²+c²=6a+8b+10c﹣50，则三角形是（）

我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a²＋2ab＋b²＝(a＋b)² ，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．

阅读下列材料：

材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数 $\text{[math]}$ ，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 等于 $\text{[math]}$ 的千位数字与个位数字的平方差，则称数 $\text{[math]}$ 为“平方差数”．

例如：7136是“平方差数”，因为 $\text{[math]}$ ，所以7136是“平方差数”；

又如：4251不是“平方差数”，因为 $\text{[math]}$ ，所以4251不是“平方差数”．

材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个正整数（ $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为18的正因数，又因为18可以分解为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，所以方程 $\text{[math]}$ 的正整数解为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

根据上述材料解决问题：

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