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题型：解答题题类：常考题难易度：普通

2015-2016学年辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试卷（理科）

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．

（1）、求椭圆E的方程；

（2）、点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：

（3）、平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

举一反三

已知双曲线 x²- $\text{[math]}$ =1上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y²=9x上，则实数m的值为（　　）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．

如图，设斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1交于A、B两点，且OA⊥OB．

（Ⅰ）求直线l在y轴上的截距（用k表示）；

（Ⅱ）求△AOB面积取最大值时直线l的方程．

已知椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点P，由点P向y轴作垂线段PQ，垂足为Q，
点M在PQ上，且 $\text{[math]}$ ，点M的轨迹为C．
(I)求曲线C的方程；
(II)过点D(2，0)作直线，与曲线C交于A，B两点，设N是过点( $\text{[math]}$ ，0)且平行于y轴的直线上一动点，满足 $\text{[math]}$ (O为原点)，问是否存在这样的直线，使得四边形OANB为矩形?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，设动点 $\text{[math]}$ 到坐标原点的距离与到 $\text{[math]}$ 轴的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，记动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .

已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上.

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