- 二一组卷

题型：证明题题类：常考题难易度：普通

甘肃省兰州市树人中学2019-2020学年八年级上学期数学第一次月考试卷

勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下

如图（1）∠DAB=90°，求证：a²+b²=c²

证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=b-a

S_四边形_ADCB= $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ 化简得：a²+b²=c²

请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c²

举一反三

“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（　　）

方法1：如图（a），对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以

∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；

方法2：如图（b），是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？

了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c² ．

证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a

∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ b²+ $\text{[math]}$ ab．

又∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ a(b-a)．

∴ $\text{[math]}$ b²+ $\text{[math]}$ ab= $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ a(b-a)

∴a2+b2=c2

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a²+b²=c² ．

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