- 二一组卷

题型：综合题题类：真题难易度：普通

山东省烟台市2019年中考数学试卷

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 点. $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）、求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

（2）、在边 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点吗？请说明理由.

举一反三

如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：

①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S_△_AOE=S_△_COE ，

其中正确结论有（）

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为（）

再读教材：

宽与长的比是 $\text{[math]}$ (约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调，匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示； $\text{[math]}$ )

第一步，在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平.

第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平.

第三步，折出内侧矩形的对角线 $\text{[math]}$ ，并把 $\text{[math]}$ 折到图③中所示的 $\text{[math]}$ 处，

第四步，展平纸片，按照所得的点 $\text{[math]}$ 折出 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，则图④中就会出现黄金矩形，

问题解决：

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，将矩形ABCD折叠使点D和点B重合，折痕为EF，则DE={#blank#}1{#/blank#}.

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E.

探究不同长方形周长与面积的关系

【项目化情境与问题】
某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是矩形，它的长、宽、周长 $\text{[math]}$ 和面积 $\text{[math]}$ 分别如图所示．根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形 $\text{[math]}$ ，是否存在另一个矩形 $\text{[math]}$ ，它的周长和面积分别是已知矩形 $\text{[math]}$ 周长和面积的 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 是否成立？

【项目支架与探究】

为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．

探究1

研究特殊情况

小组成员研究过后得知一定存在作品乙的矩形边框与原作品甲的矩形边框满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ ； $\text{[math]}$ ▲ ．设作品乙的矩形边框的长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ ； $\text{[math]}$ ▲ ．

探究2

研究特殊情况

在探究1得到作品乙的矩形边框数据的基础上，继续探究，是否存在作品丙的矩

形边框是作品乙的矩形边框周长和面积的 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 仍然成立？若存在，

请求出作品丙的矩形边框的长和宽．若不存在，请说明理由．

【项目成果】

任意给定一个矩形 $\text{[math]}$ ，长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ ，若一定存在另一个矩形 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是 ▲ ．

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