- 二一组卷

题型：综合题题类：模拟题难易度：普通

浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（五）

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．

（1）、请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；

（2）、试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；

（3）、记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）＝1，N（2，3）＝3，N（2，4）＝4．

①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；

②通过进一步的研究发现N（n，5）＝ $\text{[math]}$ n²﹣ $\text{[math]}$ n，N（n，6）＝2n²﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．

举一反三

如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A₁、A₂、A₃、A₄、…表示，其中A₁A₂与x轴、底边A₁A₂与A₄A₅、A₄A₅与A₇A₈、…均相距一个单位，则A₂₀₁₇的坐标是{#blank#}1{#/blank#}．

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