江苏省“百校大联考”2019-2020学年高三上学期数学第一次考试试卷

修改时间：2021-05-20 浏览次数：137 类型：月考试卷编辑

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一、填空题

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位，则 $\text{[math]}$ 的虚部为.

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3. 函数： $\text{[math]}$ 的定义域是.

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4. 执行如图所示的伪代码，其结果为.

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5. 在甲、乙两个盒子中都各有大小相同的红、黄、白三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取一个小球，则两个小球颜色相同的概率为.

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6. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）.若要从身高在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在 $\text{[math]}$ 内的学生中选取的人数应为.

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7. 已知圆 $\text{[math]}$ 过椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点与短轴端点，则椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程为.

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8. 如图，在体积为12的三棱锥 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为.

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9. 已知 $\text{[math]}$ 为等比数列，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ,且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的通项公式为.

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10. 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的解集为.

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11. 已知非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为．

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12. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有四个不同的零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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14. 已知正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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二、解答题

15. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象上两个相邻的最高点之间的距离为 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴.

（1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

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16. 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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17. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为椭圆 $\text{[math]}$ 与坐标轴的交点，且 $\text{[math]}$ .过 $\text{[math]}$ 轴上定点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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18. 某农场灌溉水渠长为1000米，横截面是等腰梯形，如图，在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中渠底 $\text{[math]}$ 宽为1米，渠口 $\text{[math]}$ 宽为3米，渠深 $\text{[math]}$ 米.根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿射线 $\text{[math]}$ 方向加宽、 $\text{[math]}$ 方向加深，若扩建后的水渠横截面 $\text{[math]}$ 仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为 $\text{[math]}$ 米，若挖掘费用为每立方米 $\text{[math]}$ 万元，水渠的内壁（渠底和梯形两腰， $\text{[math]}$ 端也要重新铺设）铺设混凝土的费用为每平方米 $\text{[math]}$ 万元.

（1）用 $\text{[math]}$ 表示渠底 $\text{[math]}$ 的长度，并求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（2）问渠深 $\text{[math]}$ 为多少米时，建设费用最低？

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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且满足: $\text{[math]}$

（1）证明： $\text{[math]}$ 是等比数列，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.

（2）设 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

（3）在(2)的条件下，设 $\text{[math]}$ 记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ 存在实数 $\text{[math]}$ ,使得 $\text{[math]}$ ,求实数 $\text{[math]}$ 的最大值.

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（2）对于任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）试讨论函数 $\text{[math]}$ 的极值点的个数.

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江苏省“百校大联考”2019-2020学年高三上学期数学第一次考试试卷

一、填空题

二、解答题

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