山东省临沂市2020届高三数学一模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是相反向量，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最大值b，则函数 $\text{[math]}$ 的大致图象为（）

A . B . C . D .

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7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知园周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈 $\text{[math]}$ 立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（）

A . 200两 B . 240两 C . 360两 D . 400两

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8. 点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上任意一点，点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，若函数 $\text{[math]}$ 的图象恒过定点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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9. 下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . “ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ” D . 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，所得图象关于原点对称

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10. 某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（）

A . 全国高考报名人数逐年增加 B . 2018年全国高考录取率最高 C . 2019年高考录取人数约820万 D . 2019年山东高考报名人数在全国的占比最小

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11. 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图，点E为正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上异于点C，D的动点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折成 $\text{[math]}$ ，在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A . 存在点E和某一翻折位置，使得 $\text{[math]}$ B . 存在点E和某一翻折位置，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 存在点E和某一翻折位置，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为45° D . 存在点E和某一翻折位置，使得二面角 $\text{[math]}$ 的大小为60°

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13. 三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是.

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14. 若 $\text{[math]}$ 展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实根，则实数a取值范围是．

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16. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在双曲线上，且 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为， $\text{[math]}$ ．

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17. 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求满足 $\text{[math]}$ 的正整数n的最大值．

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18. 已知函数 $\text{[math]}$ 满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：① $\text{[math]}$ ，②周期 $\text{[math]}$ ，③过点 $\text{[math]}$ ，④ $\text{[math]}$ ．

（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）求函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线 $\text{[math]}$ 相邻两个交点间的最短距离．

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19. 如图，斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

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20. 动点P在椭圆 $\text{[math]}$ 上，过点P作x轴的垂线，垂足为A，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，已知点B的轨迹是过点 $\text{[math]}$ 的圆．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于M，N两点（M，N在x轴的同侧）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆的左、右焦点，若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

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21. 2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做岀了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计结果如图：

（1）若此次知识竞答得分 $\text{[math]}$ 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值四舍五入取整数），并计算 $\text{[math]}$ ；

（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于 $\text{[math]}$ 的获得1次抽奖机会，得分不低于 $\text{[math]}$ 的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为 $\text{[math]}$ ，抽到36元红包的概率为 $\text{[math]}$ ．已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记 $\text{[math]}$ 为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额．
参考数据： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值；

（2）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的极大值恒小于0，求证： $\text{[math]}$ .

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山东省临沂市2020届高三数学一模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

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