2020年高考数学二轮复习：12 圆锥曲线的综合问题

修改时间：2020-04-15 浏览次数：211 类型：二轮复习编辑

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一、解答题

1. 已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中垂线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 有两个不同的交点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（2）是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共圆，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点分别为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，试问点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离是否为定值，证明你的结论．

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3. 已知点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且它们的斜率之积是 $\text{[math]}$ ．

（1）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

（2）设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的轨迹交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值．

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4. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P $\text{[math]}$ 在椭圆C上，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A ， B ，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

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5. 已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为（0，1）

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线l₂：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P ，且与直线l₁：y＝﹣1相交于点Q ，试问，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

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6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，右焦点F到右准线的距离为3．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x²+y²＝a²截得的弦长为 $\text{[math]}$ ，求△OPQ的面积．

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7. 如图，已知椭圆C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的上顶点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点A作圆 $\text{[math]}$ （圆 $\text{[math]}$ 在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B ， D两点(B ， D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

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8. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 上两个不同的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称．

（1）求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（2）求 $\text{[math]}$ 面积的最大值（ $\text{[math]}$ 为坐标原点）．

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9. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上

（1）求 $\text{[math]}$ 的方程

（2）直线 $\text{[math]}$ 不过原点 $\text{[math]}$ 且不平行于坐标轴， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有两个交点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ .证明：直线 $\text{[math]}$ 的斜率与直线 $\text{[math]}$ 的斜率的乘积为定值.

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10. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的短轴顶点分别为 $\text{[math]}$ ，且短轴长为 $\text{[math]}$ 为椭圆上异于 $\text{[math]}$ 的任意一点，直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，圆 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ 与椭圆C相交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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11. 椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

（2）过左焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点．问椭圆 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 相互平分？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，说明理由．

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12. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点相同，F₁ ， F₂为C的左､右焦点，M为C上任意一点， $\text{[math]}$ 最大值为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）不过点F₂的直线l：y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A ， B两点.
①若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求m的值.

②若x轴上任意一点到直线AF₂与BF₂距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

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13. 已知点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与（Ⅰ）中曲线相交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，求△ $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时直线 $\text{[math]}$ 的方程.

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14. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 为原点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积之和的最小值.

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15. 已知抛物线Γ的准线方程为 $\text{[math]}$ .焦点为 $\text{[math]}$ .

（1）求证：抛物线Γ上任意一点 $\text{[math]}$ 的坐标 $\text{[math]}$ 都满足方程： $\text{[math]}$

（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；

（3）设垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线与抛物线交于 $\text{[math]}$ 两点，求线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.

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