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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

江苏省无锡市惠山区2016-2017学年七年级下学期数学期末考试试卷

规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果 $\text{[math]}$ ，那么(a，b)=c．

例如：因为2³=8，所以(2，8)=3．

（1）、根据上述规定，填空：（3，27）=，（5，1）=，（2， $\text{[math]}$ ）=．

（2）、小明在研究这种运算时发现一个现象：（3ⁿ ， 4ⁿ）=（3，4）小明给出了如下的证明：

设（3ⁿ ， 4ⁿ）=x，则（3ⁿ）^x=4ⁿ ，即（3^x）ⁿ=4ⁿ ，

所以3^x=4，即（3，4）=x，

所以（3ⁿ ， 4ⁿ）=（3，4）．

请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3，4)+(3，5)=(3，20)

举一反三

已知下列一组数：1， $\text{[math]}$ …；用代数式表示第n个数，则第n个数是( )

小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a²﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x={#blank#}1{#/blank#}．

如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA= $\text{[math]}$ ，则CD的长等于{#blank#}1{#/blank#}．

观察下列等式：7⁰=1，7¹=7，7²=49，7³=343，7⁴=2401，7⁵=16807，…，根据其中的规律可得7²⁰¹⁹的结果的个位数字是{#blank#}1{#/blank#}。

定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为 $\text{[math]}$ （其中k是使 $\text{[math]}$ 为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝111，则第2019次“F运算”的结果是{#blank#}1{#/blank#}．

现在规定两种新的运算“﹡”和“◎”：a﹡b= $\text{[math]}$ ；a◎b=2ab，如（2﹡3）（2◎3）=（2²+3²）（2×2×3）=156，则[2﹡（-1）][2◎（-1）]={#blank#}1{#/blank#}.

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