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题型：解答题题类：难易度：普通

湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高一上学期12月期末数学试题

请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.

（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 $\text{[math]}$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形 $\text{[math]}$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

举一反三

当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 表示的曲线是（）

已知函数f（x）=x²+ $\text{[math]}$ x﹣b+ $\text{[math]}$ （a，b为正实数）只有一个零点，则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值为{#blank#}1{#/blank#}

已知log_ab=﹣1，则a+4b的最小值为{#blank#}1{#/blank#}

已知椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足 $\text{[math]}$ ，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．

（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；

（ii）求△OAB面积的最大值．

点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 长轴的端点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 短轴的端点，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 面积的最大值为8， $\text{[math]}$ 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）

已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

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