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题型：解答题题类：难易度：困难

湖南省岳阳市临湘市2025届高三上学期11月期中考试数学试题

多元导数在微积分学中有重要的应用.设 $\text{[math]}$ 是由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …等多个自变量唯一确定的因变量，则当 $\text{[math]}$ 变化为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 变化为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 的导数，其符号为 $\text{[math]}$ .和一般导数一样，若在 $\text{[math]}$ 上，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 随着 $\text{[math]}$ 的增大而增大；反之，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 随着 $\text{[math]}$ 的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性： $\text{[math]}$ ；②乘法法则： $\text{[math]}$ ；③除法法则： $\text{[math]}$ ；④复合法则： $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ .（ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），

（1）、写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）、已知方程 $\text{[math]}$ 有两实根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

①求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②证明 $\text{[math]}$ ，并写出 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的变化趋势.

举一反三

已知函数f（x）=﹣ $\text{[math]}$ ax²+（1+a）x﹣lnx（a∈R）．

当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间

函数f（x）=log₂x﹣x+3的零点个数为（）

若函数f（x）=log₂（a﹣2^x）+x﹣1存在零点，则实数a的取值范围是{#blank#}1{#/blank#}．

已知实数λ＞0，设函数f（x）=e^λx﹣ $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）当λ=1时，求函数g（x）=f（x）+lnx﹣x的极值；

（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值．

设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论必成立的是（）

函数 $\text{[math]}$ 的递减区间是（）

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