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题型：解答题题类：难易度：困难

湖南省岳阳市临湘市2025届高三上学期11月期中考试数学试题

多元导数在微积分学中有重要的应用.设 $\text{[math]}$ 是由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …等多个自变量唯一确定的因变量，则当 $\text{[math]}$ 变化为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 变化为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 的导数，其符号为 $\text{[math]}$ .和一般导数一样，若在 $\text{[math]}$ 上，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 随着 $\text{[math]}$ 的增大而增大；反之，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 随着 $\text{[math]}$ 的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性： $\text{[math]}$ ；②乘法法则： $\text{[math]}$ ；③除法法则： $\text{[math]}$ ；④复合法则： $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ .（ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数），

（1）、写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）、已知方程 $\text{[math]}$ 有两实根 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

①求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②证明 $\text{[math]}$ ，并写出 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的变化趋势.

举一反三

已知函数 $\text{[math]}$ ．

已知函数f（x）=lgx+ $\text{[math]}$ x﹣9在区间（n，n+1）（n∈Z）上存在零点，则n={#blank#}1{#/blank#}．

函数y= $\text{[math]}$ 的图象大致是（）

若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上不是单调函数，则函数 $\text{[math]}$ 在R上的极小值为（）

已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极值.

设 $\text{[math]}$ 为实数，若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极小值，则 $\text{[math]}$ （）

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