阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣&ldquo;中线长定理&rdquo;：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方...

题型：阅读理解题类：模拟题难易度：困难

江苏省无锡市惠山区2017年中考数学模拟试卷（4月份）

阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．

如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：

AB²+AC²=2AD²+2BD² ．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：

解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE² ，

同理可得：AC²=AE²+CE² ， AD²=AE²+DE² ，

为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，

∴AB²+AC²=AE²+BE²+AE²+CE²=…

（1）、请你完成小明剩余的证明过程；

（2）、理解运用：
①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD=；

②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=2 $\text{[math]}$ ，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为

（3）、拓展延伸：
小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5 $\text{[math]}$ ，以A（﹣3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．

请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．

举一反三

婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，书写了两部关于数学与天文的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及证明如下：

已知：如图，四边形ABCD内接与圆O对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD于F，求证：MF=DF

证明∵AC⊥BD，ME⊥BC

∴∠CBD=∠CME

∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF

∴∠CAD=∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°

∴∠FMD=∠FDM

∴MF=DF，即F是AD中点．

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