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题型：综合题题类：难易度：普通

河北省唐山市滦州市2023-2024学年八年级上学期11月期中数学试题

我们共同来探究下面问题：

已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形 ACE和 BCD，连接 AD、BE交于点P.

（1）、如图1，当点C在线段AB上移动时，线段 AD与BE的数量关系是：.

（2）、图2，当点C在直线AB外，且∠ACB<120°，上面的结论是否还成立?若成立请证明，不成立说明理由.

（3）、在(2)的条件下，∠APE的大小是否随着∠ACB.的大小的变化而发生变化，若变化，写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数.

举一反三

如果等边三角形的边长为3，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（）

如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE=15° .

如图，在正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，若PD+PE的最小值为5，则正方形的面积为（）

如图，在边长为4的等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，DF⊥AB于点F，连结EF，则EF的长为（）

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 为一、三象限角平分线，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点称为 $\text{[math]}$ 的一次反射点，记作 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点称为点 $\text{[math]}$ 的二次反射点，记作 $\text{[math]}$ ．

例如，点 $\text{[math]}$ 的一次反射点为 $\text{[math]}$ ，二次反射点为 $\text{[math]}$ ．

根据定义，回答下列问题：

（1）点 $\text{[math]}$ 的一次反射点为__________，二次反射点为____________；

（2）当点 $\text{[math]}$ 在第一象限时，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中可以是点 $\text{[math]}$ 的二次反射点的是___________；

（3）若点 $\text{[math]}$ 在第二象限，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是点 $\text{[math]}$ 的一次、二次反射点， $\text{[math]}$ 为等边三角形，求射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴所夹锐角的度数．

（4）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴左侧，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是点 $\text{[math]}$ 的一次、二次反射点， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的位置．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为线段 $\text{[math]}$ 上一点（点D不与B，C重合），连接 $\text{[math]}$ ．

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