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题型：证明题题类：难易度：困难

广东省广州市铁一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

（1）、以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）；

①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形．

（2）、如图1，将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ．

①连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是勾股四边形．

②如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

举一反三

如图，在△ABC中，∠C=90°，在AB边上取一点D，使BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC=8，BC=6．求DE的长．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动。当点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合时，在边 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边做矩形 $\text{[math]}$ .设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒.

在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，以原点为中心，将点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°.求四边形ABCD的面积.

在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦".如图①，AB，CD是 $\text{[math]}$ 的弦，如果AB=CD，AB⊥CD，垂足为E，那么AB，CD是“等垂弦”.

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，顶点 $\text{[math]}$ 在第一象限，顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象恰好经过正方形 $\text{[math]}$ 的两个顶点，求 $\text{[math]}$ 的值．

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