- 二一组卷

题型：解答题题类：难易度：困难

湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的截线，截得四边形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 的“幸福线”．

（1）、已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的“幸福线”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）、如图2，若 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边的“幸福线"，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）、在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图3过 $\text{[math]}$ 点作 $\text{[math]}$ 的“幸福线” $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 面积最大时，求 $\text{[math]}$ 的正切值．

举一反三

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ABC的度数为{#blank#}1{#/blank#} .

如图，已知在△ABC中，∠A=90°，D是BC中点，且DE⊥BC于D，交AB于E，求证：BE²﹣EA²=AC² ．

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．

如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm．

求：⊙O的半径．

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边上的高，AC=2，AD=1，则BC的长是（）

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