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题型：解答题题类：难易度：困难

浙江省2024年数学初中学业水平考试全效学习状元卷试题

已知二次函数 $\text{[math]}$ .

（1）、若顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值.

（2）、若 $\text{[math]}$ .

①求证：函数图象上必存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .

②若函数图象与 $\text{[math]}$ 轴的两个交点间的距离小于1，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

举一反三

如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（不与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP= $\text{[math]}$ t、OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax²+bx．其顶点N（m，n）

已知：如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．

如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A，点B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，4），作直线AC．

抛物线y=﹣x²﹣2x+3与x轴交点为{#blank#}1{#/blank#}，与y轴交点为{#blank#}2{#/blank#}．

阅读：对于函数y=ax²+bx+c（a≠0），当t₁≤x≤t₂时，求y的最值时，主要取决于对称轴x=﹣ $\text{[math]}$ 是否在t₁≤x≤t₂的范围和a的正负：①当对称轴x=﹣ $\text{[math]}$ 在t₁≤x≤t₂之内且a＞0时，则x=﹣ $\text{[math]}$ 时y有最小值，x=t₁或x=t₂时y有最大值；②当对称轴x=﹣ $\text{[math]}$ 在t₁≤x≤t₂之内且a＜0时，则x=﹣ $\text{[math]}$ 时y有最大值，x=t₁或x=t₂时y有最小值；③当对称轴x=﹣ $\text{[math]}$ 不在t₁≤x≤t₂之内，则函数在x=t₁或x=t₂时y有最值．

解决问题：

设二次函数y₁=a（x﹣2）²+c（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1），且2a+c=0．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ ，如果点 $\text{[math]}$ 的纵坐标满纵坐标满足： $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“关联点”．

（1）请直接写出点 $\text{[math]}$ 的“关联点”的坐标____________；

（2）若点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图像上，其“关联点” $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）若点 $\text{[math]}$ 的“关联点” $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图像上，当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的最大值．

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