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题型：解决问题题类：难易度：困难

2022年重庆八中(BZ)入学数学真卷(十)

(新定义数)一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383-357 =26 ，26能被13整除，因此383357是“十三数”。

（1）、判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由；

（2）、若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”。

①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除。

②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的四位数的最大值与最小值之差。

举一反三

a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300．那么，这五个数中从小到大排列第2个数的平方是（　　）

对于两个数a与b规定a#b=a×b+a+b 如果5#x=29，求x．

狗的脖套上有一个四位数的号码，四个数字的和是15，千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字多1，狗脖套上的号码是（）

对于任意一个四位数m，其各位数字互不相等，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，记 $\text{[math]}$ 为m的各个数位上的数字之和．例如： $\text{[math]}$ ， ∵1+4=3+2，1432是“天平数”， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， ∵6+3≠9+7，∴6397不是“天平数”．

在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数 $\text{[math]}$ (a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的和N，把N告诉术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数 $\text{[math]}$ 。现在设N=3194，请你当术师，求出数 $\text{[math]}$

将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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