- 二一组卷

题型：实践探究题题类：难易度：困难

吉林省长春市汽开区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：

点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一定点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，确定点 $\text{[math]}$ 的位置，使线段 $\text{[math]}$ 最长．

（1）、【问题解决】以下是小华的方法：
如图 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为所求．
理由如下：在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ 异于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
接下来只需证明 $\text{[math]}$ ．
请你补全小华的证明过程．

（2）、【类比结论】点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外一定点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，设 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值为，线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为 $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$

（3）、【拓展延伸】如图 $\text{[math]}$ ，在半圆 $\text{[math]}$ 中，直径 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在半圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中，线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为．

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．

如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．